楔子
最大子序和 ( leetcode题目 )
给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。
示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。
题目只需要求最大的和是多少, 而不需要知道这个子数组的起止位置
首先需要明确的是, 如果这个子数组的边缘位置(第一个或最后一个)元素是一个负数
那么这个子数组的和肯定不是最大的, 因为舍掉这个元素, 之后的和肯定会更大, 负数是会让总和减小的
比如[-3,4,-1,2] 这个子数组肯定不是最大, 因为把-3舍掉会更大
更进一步, 如果这个子数组边缘位置连续多个数的和是负数, 那么这多个数也可以舍掉, 让总和更大
比如[1,-3,4,-1,2] 这个子数组肯定不是最大, 因为把1,-3舍掉, 可以让总和更大
以示例当中给出的数组进行推演
[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
( 下面的每个序号代表推进到第几个元素 )
- 总和初始值是0 , 先加第一个数此时总和是
-2
- 前面的总和-2, 加上它会使总和 变小, 所以不加, 总和 归零, 然后加1, 此时总和是
1
- 前面的总和1, 加上它会使总和 变大, 所以加上, 此时总和是
-2
- 前面的总和-2, 加上它会使总和 变小, 所以不加, 总和 归零, 然后加4, 此时总和是
4
- 前面的总和4, 加上它会使总和 变大, 所以加上, 此时总和是
3
…..
每一步是否舍弃前面总和的判断条件就是前面的总和是正还是负, 正数则加, 负数则舍弃
依次进行下去, 从每一步得到的总和里面找出最大的就可以了
每一步的总和分别是-2 1 -2 4 3 5 6 1 5
显然最大的是6
代码实现
1 | class Solution { |
空间复杂度是O(1)
, 因为使用了常数个变量, 没有开辟长度为n的新数组
时间复杂度是O(n)
, 因为要逐个遍历传入的数组当中的元素
不同路径问题
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)
问总共有多少条不同的路径?
解决方式
- 首先最左上角的格子的到达方式肯定只有1种, 因为必须要从这个格子开始走
- 在每个格子当中只能向右或者向下移动, 所以每个对于每个格子来说, 到达这个格子的时候, 只能从左侧或者上方到达
- 左边缘的格子无法从左侧到达, 上边缘的格子无法从上方到达
所以对于每个格子来说, 到达这个格子的路径的数量 = 到达左侧格子的数量 + 到达上方格子的数量
左边缘的格子前者为0, 上边缘的格子后者为0
根据这个原则, 就可以把到达每个格子的路径数量递推出来了
代码实现
1 | public int uniquePaths(int m, int n) { |
整体思路就是创建一个整数二维数组, m+1和n+1是为了留出第一行和第一列数值都是0
方便进行计算, 当然这个也不是必须的, 在循环当中判断也可以, 但是不影响时间和空间复杂度
时间复杂度O(mn)
空间复杂度O(mn)
进阶
如果某些方格存在障碍物, 机器人不能经过这些格子
有多少走法该如何计算
传入的参数是一个整数二维数组, 其中0代表该位置无障碍, 1代表该位置有障碍
这个问题同样可以沿用上一题的解法
需要补充的就是在障碍物的位置, 右侧和下方的格子
其对应的来自左侧和上面的走法应该是0, 因为无法从障碍物走过来
代码实现
1 | public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) { |
总结
动态规划的主要应用于使用穷举去解决时间复杂度过高的问题
将大问题化解为小问题, 并且记住前面小问题的求解结果, 避免在穷举过程中对前面小问题的重复求解
从而降低时间复杂度